Trực tâm là gì? Tính chất trực tâm của tam giác là gì? Cách tìm tọa độ trực tâm của tam giác như thế nào? Khái niệm trực tâm tam giác hay trực tâm trong không gian chúng ta đã được học trong chương trình toán học trung học cơ sở. Tuy nhiên nếu bạn chưa nhớ chính xác trực tâm là gì? Vậy hãy cùng tham khảo những thông tin mà chúng tôi đã tổng hợp dưới đây nhé!
Trực tâm là gì?
Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong tam giác và giao điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Khái niệm trực tâm này không chỉ dựa vào quan sát hình mà còn dựa theo các dấu hiệu:
- Trực tâm của tam giác nhọn: vị trí nằm ở miền trong tam giác đó.
- Trực tâm tam giác vuông: là vị trí đỉnh của góc vuông trong tam giác.
- Trực tâm trong tam giác tù: vị trí nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Vậy bạn có biết đường cao của tam giác là gì không? Đường cao của tam giác bất kỳ nào đó là một đoạn thẳng được kẻ từ đỉnh của một góc trong tam giác và vuông góc với cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy tương ứng với mỗi đường cao đó.
Giả sử ta có tam giác LMN với 3 đường cao lần lượt là: LP, MQ, NI. Gọi S là giao điểm của ba đường cao trên thì S chính là trực tâm của tam giác LMN.
Trực tâm của tam giác LMN
5 tính chất của trực tâm trong tam giác nên nhớ
Trực tâm trong tam giác có 5 tính chất cơ bản đó là:
Tính chất 1: Trong 1 tam giác cân, đường trung trực tương ứng với cạnh đáy sẽ đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác đó.
Tính chất 2: Trong một tam giác, 1 đường trung tuyến cùng là đường phân giác thì tam giác đấy sẽ là tam giác cân.
Tính chất 3: Trong một tam giác,1 đường trung tuyến và cũng là đường trung trực thì tam giác đấy sẽ là tam giác cân.
Tính chất 4: Trực tâm của tam giác có 3 nhọn ABC sẽ trùng với tâm của đường tròn nội tiếp với tam giác đó có ba đỉnh là chân của ba đường cao tam giác từ các đỉnh A, B, C lần lượt đến các cạnh đối diện BC, AC, AB tương ứng.
Tính chất 5: Đường cao của tam giác ứng với một đỉnh sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai và điểm này sẽ đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Từ 5 tính chất trực tâm của tam giác trên ta rút ra được hệ quả như sau: “Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác, và cách đều ba cạnh là bốn điểm này đều trùng nhau, là một điểm.
Trực tâm của tam giác đều.
Xem thêm:
Cách xác định tọa độ trực tâm của tam giác.
Như ta đã biết trong phần định nghĩa ở trên, trực tâm tam giác chính là giao điểm của 3 đường cao trong tam giác đó. Tuy nhiên để xác định trực tâm của tam giác ta không nhất thiết phải vẽ đủ cả 3 đường cao đó. Trên thực tế, chỉ cần vẽ 2 đường cao trong tam giác đã có thể xác định được tọa độ trực tâm tam giác đó.
Đối với tam giác thường như tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân, tam giác đều có cách tìm tọa độ trực tâm của tam giác giống nhau. Đó là từ 2 đỉnh của tam giác ta kẻ 2 đường cao của tam giác đến 2 cạnh đối diện. 2 đường cao đó cắt nhau tại điểm nào thì điểm đó là trực tâm của tam giác đó.
Tuy nhiên trực tâm của tam giác vuông khác với những tam giác còn lại. Trực tâm của tam giác vuông chính là đỉnh của góc vuông trong tam giác đó. Bởi tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông cũng chính là 2 đường cao của tam giác vuông góc với nhau.
Trực tâm của tam giác vuông
Bài tập trực tâm tam giác
Bài tập về trực tâm của tam giác thường xuất hiện trong các bài học về hình học không gian với yêu cầu tìm trực tâm trong không gian. Dưới đây là một số bài tập giúp bạn tham khảo để hiểu rõ và nắm vững lý thuyết.
Bài 1:
Gọi K là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, KBC, KCA, bằng nhau.
Lời giải:
Đối với bài này đầu bài đã cho tam giác không vuông vậy ta sẽ xét tam giác trong 2 trường hợp là tam giác có 3 góc nhọn và tam giác có góc tù.
Trường hợp 1: Xét tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
Gọi R, R1 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, KBC.
Áp dụng định lí sin ta có:
= 2R;
= 2R1
Mà +
= +
= (vì
và
đối đỉnh)
sin A = sin
Do đó 2R=2R1 ⇒ R=R1.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCA, KAB bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trường hợp 2: Xét tam giác ABC có góc tù.
= 2R;
= 2R1
Mà +
=
sin
= sin
= sin
(vì
và
⇒ R = R1
Tương tự như trên ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCA, KAB bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2:
Tìm tọa độ trực tâm H biết tam giác ABC biết tọa độ các điểm lần lượt là A(-2;6), B (-2;9); C (9;8). Hãy xác định và tìm trực tâm của tam giác đó trong không gian xyz.
Lời giải:
Trên đây là những kiến thức tổng hợp về trực tâm là gì, trực tâm của tam giác là gì? các tính chất trực tâm tam giác và bài tập liên quan. Hy vọng với những chia sẻ này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và làm bài tập dễ dàng, đạt được điểm cao.
