Trọng tâm tam giác là gì? Tính chất trọng tâm tam giác

Trọng tâm tam giác là gì? Công thức tính trọng tâm tam giác như thế nào? Trọng tâm tam giác là kiến thức quan trọng của môn Toán trong chương trình học phổ thông. Vì vậy, trong phần này chúng ta cần nắm vững tính chất, công thức tính trọng tâm để có thể vận dụng làm bài tập chính xác. Trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ tổng hợp lại những kiến thức quan trọng để bạn tham khảo, ôn lại những kiến thức liên quan.

Trọng tâm tam giác là gì?

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến có điểm xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác. Trong đó, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng được nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ví dụ trọng tâm tam giác:

Cho tam giác ABC với AM, CP, BN lần lượt là 3 đường trung tuyến có điểm xuất phát từ 3 đỉnh tam giác là A, B, C.

Trọng tâm tam giác ABC là điểm G - giao của 3 đường trung tuyến
Trọng tâm tam giác ABC là điểm G – giao của 3 đường trung tuyến

Khi đó, điểm giao của các đường trung tuyến AM, BN, CP tại điểm G. Từ đó ta có thể thấy 3 đường AM, BN, CP đồng quy tại điểm G và G chính là trọng tâm của tam giác ABC đã cho.

Trọng tâm tam giác có tính chất gì?

Trọng tâm của tam giác có tính chất đó là: khoảng cách từ trọng tâm của tam giác tới 3 đỉnh bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Để dễ hiểu hơn tính chất trọng tâm của tam giác ta xét ví dụ dưới đây:

Xét tam giác ABC có 3 đường trung tuyến lần lượt là AM, BN, CP. Trong đó G là trọng tâm như hình vẽ. Vậy theo tính chất trên ta sẽ có:

  • GA = 2/3 AM
  • GC = 2/3 CP
  • GB = 2/3 AN

Ngoài ra, dựa vào tính chất ta thấy còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Khi đó, điểm G sẽ chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau cụ thể:

  • Điểm G chia đường trung tuyến AM thành các phần:

AM = 3/2 AG; AM = 3 GM ; AG = 2 GM; GM = 1/2 AG,…

  • Tương tự với đường trung tuyến BN, ta có các phần:

BN = 3/2 BG; BN = 3 GN; BG = 2 GN; GN = 1/2 BG,…

  • Điểm G chia đường trung tuyến CP có các phần:

CP = 3 GP; CP = 3/2 CG; GP = 1/2 CG; CG = 2 GP; …

Chi tiết về cách xác định trọng tâm tam giác

Muốn xác định được trọng tâm của một tam giác bạn có thể thực hiện theo 2 cách đơn giản sau đây:

Cách 1: Dựa theo gia điểm 3 đường trung tuyến

  • Vẽ tam giác ABC bất kỳ.
  • Trên cạnh bất kỳ chẳng hạn trên cạnh BC xác định trung điểm M sao cho MB = MC.
  • Từ đỉnh A của tam giác ABC nối A với trung điểm M để tạo thành đường trung tuyến AM.
  • Thực hiện tương tự như trên với các cạnh và các đỉnh còn lại. Như vậy, bạn sẽ vẽ thêm được 2 đường trung tuyến của tam giác với các thực hiện trên.  

Khi đó trên tam giác ABC 3 đường trung tuyến giao nhau tại điểm B. Khi đó, điểm G chính là trọng tâm của ABC cần tìm. 

Cách 2: Dựa theo tỷ lệ trên đường trung tuyến

  • Vẽ hình tam giác ABC bất kỳ.
  • Trên một cạnh của tam giác xác định trung điểm ví dụ: xác định M của cạnh BC sao cho MC = MB ( M trung điểm của cạnh BC).
  • Nối đỉnh C với điểm M ta được đường trung tuyến CM.
  • Trên đoạn thẳng CM, xác định điểm G sao cho CG = 2/3 CM.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác từ đó ta có điểm G chính là trọng tâm của tam giác bạn cần xác định.

Trọng tâm tam giác của các hình tam giác đặc biệt

Trọng tâm tam giác vuông

Trọng tâm của tam giác vuông ABC với góc vuông tại đỉnh A
Trọng tâm của tam giác vuông ABC với góc vuông tại đỉnh A

Xem thêm:

Trường hợp tam giác vuông trọng tâm cũng được xác định như cách xác định tam giác thường.

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác. Vì AI là đường trung tuyến của góc vuông A ta có: 

AI = 1/2 BC = BI = CI

Vậy tam giác AIB, tam giác AIC đều cân tại I

Trọng tâm tam giác cân

Cách tìm trọng tâm tam giác cân cũng được xác định giống như đối với tam giác thường. Tuy nhiên vì tam giác có hình dạng đặc biệt nên ta có ví dụ sau:

Xét tam giác cân ABC cân tại đỉnh A. Gọi G là trọng tâm của tam giác cân ABC. Vì tam giác cân tại A nên AG vừa là đường cao, là đường phân giác, là đường trung tuyến của tam giác ABC

Trọng tâm của một tam giác cân khi đi xác định trọng tâm cũng làm như cách  xác định của tam giác thường.

Trọng tâm tam giác cân tại đỉnh A
Trọng tâm tam giác cân tại đỉnh A

Ta có: AG vuông góc với BC => tam giác AIC và AIB  đều vuông tại I.

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Giống như cách xác định trọng tâm của những tam giác trên. Đề xác định được trọng tâm tam giác vuông cân bạn có thể xác định giống như với tam giác thường. 

Đối với tam giác vuông cân có thể xác định theo 2 trường hợp sau:

Trọng tâm tam giác vuông cân ABC vuông tại đỉnh A, G là trọng tâm
Trọng tâm tam giác vuông cân ABC vuông tại đỉnh A, G là trọng tâm

Xét tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A với G là trọng tâm của tam giác. 

  • Trường hợp tam giác vuông: Như đã xét ở phần trên, ta có AG sẽ vừa là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác 

=> AG vuông góc với BC.

  • Trường hợp tam giác cân tại A: AB = AC

=> BM = CN và AN = BN = CM = AM

Trọng tâm tam giác đều

Tương tự các tam giác có hình đặc biệt trên tam giác đều cũng được xác định như tam giác thường. 

Trọng tâm tam giác đều ABC với G là trọng tâm giao của 3 đường trung tuyến
Trọng tâm tam giác đều ABC với G là trọng tâm giao của 3 đường trung tuyến

Xét tam giác ABC đều có điểm G là giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác này. Khi đó, theo tính chất của tam giác đều ta có điểm G là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều.

Một số bài tập về trọng tâm tam giác

Bài 1 : Cho tam giác ABC có trung tuyến AD = 12cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI của tam giác trên?

Lời giải:

Theo đầu bài: I là trọng tâm của tam giác ABC, đoạn AD là đường trung tuyến nên:

Ta có: AI = (2/3) AD (dựa theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).12 = 8 (cm).

Vậy độ dài đọan AI là 6 cm.

Bài 2: Gọi điểm I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Hãy chứng minh: IM = IN = IP.

Lời giải:

Gọi trung điểm của các cạnh tam giác MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.

Khi đó các đường MS, PR, NO sẽ đồng quy tại trọng tâm I.

Theo đầu bài ∆MNP đều:

=> MS = PR = NO (1).

Vì I là trọng tâm của ∆MNP do đó theo tính chất đường trung tuyến ta có:

MI = 2/3 MS, NI = 2/3 NO PI = 2/3 PR (2).

Từ (1) , (2) ⇒ IM = IN = IP.

Như vậy qua bài viết trên đây đã giúp bạn nhớ lại kiến thức về đường trung tuyến, khái niệm về trọng tâm tam giác là gì, tính chất và các cách xác định trọng tâm tam giác. Hy vọng với những thông tin trên đây sẽ giúp bạn củng cố, nắm chắc lý thuyết và vận dụng vào giải toán hình, chứng minh trọng tâm, các đoạn bằng nhau chính xác nhất. Chúc các bạn đạt được nhiều điểm tốt trong quá trình học tập và thi học kỳ tới.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *