Tam giác đồng dạng là gì? Bài tập về tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng là gì? Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác thế nào? Khái niệm hai tam giác đồng dạng nằm trong phạm vi Toán học lớp 8. Hôm nay chúng tôi sẽ tổng hợp và chia sẻ toàn bộ về tam giác đồng dạng. Cách chứng minh, lý thuyết, bài tập, cách giải các dạng toán tam giác đồng dạng.

Khái niệm chi tiết về hai tam giác đồng dạng

Tam giác là hình được tạo bởi 3 điểm khác nhau không nằm trên cùng một đường thẳng được nối với nhau. Tam giác thường có tam giác vuông, tam giác đều, tam giác thường, tam giác cân. Vậy tam giác đồng dạng tam giác đồng dạng lớp 8 trong chương trình Toán cấp 2 như thế nào?

Hai tam giác đồng dạng là gì?

Định nghĩa 2 tam giác đồng dạng khái quát như sau:

“Hai tam giác được gọi là đồng dạng khi các góc của hai tam giác tương ứng bằng nhau và có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Kí hiệu hai tam giác đồng dạng như sau: △ABC∼△A′B′C′

Xét ví dụ dưới đây:

Khái niệm tam giác đồng dạng
Khái niệm tam giác đồng dạng

Tam giác A’B’C’ là tam giác đồng dạng với tam giác ABC nếu xảy ra những kết quả sau:

= =

Và:

=

=

=

Tính chất cơ bản của hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng sẽ có những tính chất sau:

– Tính giao hoán: 2 tam giác nếu ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ thì tam giác A’B’C’ cũng đồng dạng với tam giác ABC.

– Tính chất bắc cầu 2 tam giác đồng dạng: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác A’’B’’C’’, còn tam giác A’’B’’C’’ đồng dạng với tam giác ABC. Vậy suy ra ta có thêm 1 cặp tam giác đồng dạng A’B’C’ và ABC.

Những định lí về hai tam giác đồng dạng trong toán hình học lớp 8

Hai tam giác đồng dạng ta có định lý sau:

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại của tam giác thì sẽ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho”

Nhận biết các trường hợp tam giác đồng dạng

Dựa vào các dấu hiệu theo các trường hợp cụ thể để nhận biết hai tam giác đồng dạng trong hình học lớp 8 như sau:

Trường hợp 1: Cạnh- cạnh- cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau

Trường hợp này 2 tam giác đồng dạng khi 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia theo các cạnh tương ứng tỉ lệ. Trong trường hợp này ta sẽ không cần phải so sánh các giá trị góc của hai tam giác với nhau.

Hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau là tam giác đồng dạng
Hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau là tam giác đồng dạng

Xem thêm:

Ví dụ minh họa: Cho hai tam giác A’B’C’ và tam giác đồng dạng ABC vậy các cạnh của tam giác ta có:

AC = A’C’= 4

AB = A’B’= 5

BC = B’C’= 6

Trường hợp 2: góc – cạnh – góc (góc xen giữa 2 cạnh bằng nhau)

Hai tam giác có hai góc và cạnh bên của tam giác bằng nhau thì 2 tam giác đó là tam giác đồng dạng. Hay ta có thể hiểu rằng trường hợp này khi 2 cạnh có tỉ lệ bằng nhau và góc xen giữa hai cạnh của tam giác bằng nhau là 2 tam giác đồng dạng.

Ví dụ minh họa:

Hai tam giác đồng dạng △ABC∼△A’B’C

khi góc = , AB = A’B’ và AC = A’C’

Trường hợp 3: góc – góc (hai góc tương ứng bằng nhau)

Nếu một trong 2 cặp góc và 1 cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì 2 tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc – góc

Ví dụ: Cho tam giác ABC và tam giác DEF, ta có:

=

=

=> △ DEF đồng dạng với △ ABC

Định lí về hai tam giác đồng dạng trong tam giác vuông

Định lý 1: trường hợp về cạnh huyền – cạnh góc vuông

Hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau nếu cạnh huyền và cạnh góc góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia.

Ví dụ minh họa:

Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta có:

= = và AB = A’B’ ; BC = B’C’

Vậy kết luận: △ABC∼△A′B′C′

Định lí 2: trường hợp về Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau

Hai tam giác đồng dạng nếu 2 cạnh của góc vuông trên 2 tam giác này bằng nhau.

Định lí 3: trường hợp về Góc của 2 tam giác vuông

Nếu góc nhọn của hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác vuông đó là hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ minh họa: Ta có △ABC và △A’B’C’, = = và góc B = góc B’

Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’

3 cách chứng minh hai tam giác đồng dạng hay gặp

Để chứng minh tam giác đồng dạng có 3 trường hợp xảy ra đó là:

Chứng minh hai tam giác đồng dạng – theo Hệ thức

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng qua hệ thức ta xét trên bài toán sau:

Cho △ABC trong đó cạnh AB < AC, AD là đường phân giác trong. Miền ngoài

△ vẽ tia Cx sao cho = . Trên Cx và AD gọi I là giao điểm của 2 đường thẳng. Chứng minh:

a) △ADB∼△CDI

b) AD = AC ; AB= AI

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Lời giải

Từ các giả thiết trên ta có hình vẽ như sau:

Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng – có góc tương ứng bằng nhau

Ta có bài toán: Cho △ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) △HBE∼△HCE

b) Tam giác HED đồng dạng tam giác HBC và =

Lời giải:

Ta có hình vẽ:

Chứng minh 2 tam giác đồng dạng – theo định lí Talet và Hai đường thẳng song song

Xét bài toán như sau:

Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của △ ADE. Chứng minh:

a) △ADB∼△AEG

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

Lời giải

5 phương pháp chứng minh (CM) hai tam giác đồng dạng toán lớp 8 đang được sử dụng phổ biến

– Phương pháp CM 1: Hai tam giác có các các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ là hai tam giác đồng dạng.

– Phương pháp CM 2: Theo định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của △ và cắt hai cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

– Phương pháp CM 3: CM các điều kiện cần và đủ để hai △ đồng dạng:

  • 2 tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng.
  • 2 △ có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng.
  • 2 △ có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.

– Phương pháp CM 4:Chứng minh trường hợp 1 (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của △ này tỷ lệ với 3 cạnh của △ kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.

– Phương pháp CM 5: Chứng minh trường hợp 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của △ này tỷ lệ với 2 cạnh của △ kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.

Bài tập chứng minh hai tam giác đồng dạng toán 8

Bài tập số 1: Cho ΔABC cân tại A; cạnh BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho =

a) Chứng minh rằng: tam giác BDM đồng dạng tam giác CME

b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

Lời giải:

 

a) Ta có:

= (vì ΔABC cân tại A (1) )

và:

= (gt)

+ + =

+ + =

Suy ra = (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ΔBDM ∽ ΔCME (theo trường hợp g – g).

b) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

Nên =

Và BM = CM (theo giả thiết)

= => ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

=

Suy ra: DB.CE=CM.BM

Mà BM=CM= = a

⇒ BD.CE = CM.BM = (không đổi)

Bài tập số 2: Cho hình thang ABCD có AB= 12,5cm, DC = 28,5 cm, AB// DC, = ; Tính độ dài đoạn thẳng DB.

Giải: ta có hình vẽ:

 

Bài tập số 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. N, M lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AH và BH

chứng minh rằng:

a) ΔABM ∽ ΔCAN

b) AM ⊥ CN

Giải: ta có hình vẽ:

 

a) Xét Δ ABH và ΔCAH có:

= =

= = ( cùng phụ với góc B)

⇒ΔABM ∽ ΔCAN (theo trường hợp g.g)

=

=> =

Lại có:

= ( cùng phụ với góc C)

Xét ΔABM và ΔCAN có:

=

=

=>ΔABM ∽ ΔCAN (theo trường hợp c-g-c)

b) Xét tam giác ABH có MN là đường trung bình nên MN//AB.

Vậy MN ⊥ AC tại K.

Xét Δ AMC ta có MK , AH lần lượt là các đường cao nên suy ra N là trực tâm. Vậy CN ⊥ AM

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về tam giác đồng dạng cũng như các bài toán hai tam giác đồng dạng có lời giải chi tiết. Hy vọng với những chia sẻ này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn để nắm vững kiến thức môn toán hình học lớp 8.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *