Trong chương trình học phổ thông học sinh đã được học về công thức tổ hợp xác suất lớp 11, công thức tổ hợp chỉnh hợp, hoán vị… Đây là những công thức vô cùng quan trọng mà bất kể học sinh chuyên toán hay không chuyên đều phải biết. Bởi chúng ta sẽ gặp nhiều bài tập có trong các dạng đề thi THPT.
Do vậy hôm nay bài viết sẽ tổng hợp lại toàn bộ kiến thức về công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác suất, nhị thức Newton. Đi kèm đó là các ví dụ minh họa để các bạn có thể nắm vững kiến thức từ đó giải quyết dễ dàng các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Công thức tính tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn những phần từ từ nhóm lớn hơn mà không cần phân biệt thứ tự. Hay công thức tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp S có chứa n phần tử trong đó. Với các phần tử con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và là một tập con không sắp xếp theo đúng thứ tự. Trong đó, số tổ hợp chập k của n phần tử sẽ được tính bằng hệ số nhị thức.
Công thức tổ hợp là:
Từ công thức này ta có thể triển khai tính hệ giai thừa như sau:
Trong đó: k ≤ n, nếu tổ hợp C có kết quả = 0 ⇆ k > n nên tập hợp tất cả các tổ hợp k của tập hợp s và được ký hiệu là (S/k).
Ví dụ về tổ hợp: Có 10 quyển sách tiếng Anh khác nhau. Hãy chọn ra 4 quyển sách, hỏi có bao nhiêu cách chọn để chọn.
Lời giải
Để chọn ra 4 quyển sách trong 10 quyển tiếng Anh ta có tổ hợp chập 4 của 10 như sau:
Đáp số: sẽ có 210 cách chọn.
Công thức chỉnh hợp là gì?
Chỉnh hợp là cách lựa chọn phần tử với một nhóm lớn và có sự phân biệt theo thứ tự sắp xếp. Cách tính chỉnh hợp trái ngược so với tổ hợp đó là không phân biệt theo thứ tự sắp xếp.
Như vậy theo định nghĩa thì chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp S bên trong có chứa n phần tử còn tập con gồm k phần tử riêng thuộc S, đều có sắp xếp theo thứ tự.
Công thức chỉnh hợp là:
Ví dụ về chỉnh hợp: Sắp xếp 5 người vào một phòng đợi có 7 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách để xếp?
Lời giải
Để chọn ra 5 người ngồi vào phòng có 7 chỗ ngồi ta có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7 ta có:
Đáp số: Có 2520 cách sắp xếp khác nhau.
Công thức hoán vị
Hoán vị được định nghĩa là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Hoán vị được hiểu rằng các đối tượng phân biệt nhưng có thể được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.
Theo định nghĩa: Nếu cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A sẽ được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Công thức hoán vị là:
Ví dụ về hoán vị: Sắp xếp 7 người vào một lớp học có 7 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Lời giải
Mỗi một cách đổi chỗ 1 trong 7 người trong lớp học sẽ là 1 hoán vị ta có:
P7 = 7! = 5040 cách
Đáp số: Có tổng 5040 cách
Công thức xác suất
Xác suất là số nào đó trong khoảng từ 0 đến 1. Trong đó, 0 được biểu thị cho sự bất khả thi và 1 là biểu thị của sự chắc chắn của sự kiện nào đó. Tỷ lệ xác suất càng cao thì khả năng xảy ra càng lớn.
Công thức xác suất là:
Ví dụ: Lựa chọn tung đồng xu được cho là công bằng, không thiên vị. Bởi vì đồng xu công bằng nên chỉ có 2 kết quả xảy ra là mặt sấp cả 2 có kết quả sắp và ngửa nên có thể xảy ra trường hợp như nhau. Xác suất của mặt sấp bằng xác suất của mặt ngửa. Bởi không còn kết quả nào khác có thể xảy ra nên xác suất mặt sấp và ngửa là ½.
Công thức nhị thức Newton
Nhị thức Newton là một định lý toán học về việc khai triển mũ, hàm, tổng, đó là việc triển khai một nhị thức bậc n thành đa thức n + 1 số hạng.
Công thức nhị thức newton tổ hợp chỉnh hợp là:
Xem thêm:
Ví dụ: Tìm số hạng chứa x6 của đa thức P(x) = 25×6 + x3(1 + x)4
Lời giải
Theo công thức newton ta có:
- Số hạng chứa x6 trong 25×6 là 25×6
- Do k + 3 = 6 ↔ k = 3 nên số hạng chứa x6 trong x3(1 + x)4 chính là
→ Số hạng chứa x6 trong việc khai triển của P(x) là: 25×6 + 4×6 = 29×6
Trên đây là toàn bộ kiến thức, công thức tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất, hoán vị… đã được chúng tôi tổng hợp và giải thích. Để nhớ công thức các bạn nên chăm chỉ làm thật nhiều bài tập hơn nhé.
